勾股定理生活常识用不了的勾股定理
勾股定理适用于球面吗？
直至今日，我们仍将由欧氏几何公理推导而出的大批定理奉为圭臬，生活中无处不闪烁着欧氏几何公理的耀眼光彩。
作为最直观也是应用最多的几何体系，欧氏几何非常符合我们的常识。但前面说过，直觉和经验不一定靠得住，常识也是如此。
假设现在有一个直角三角形被放在球面上，如图2-8所示。
图2-8球面上的直角三角形
这时，你会发现勾股定理完全不成立。相比于平坦的欧氏空间，球面显然有着自己不同的曲率，这种曲率使包括勾股定理在内的欧氏几何定理骤然失效。
三角形内角和不一定等于180°，在球面上,三角形内角和大于180°。
两点之间不一定直线最短，在球面上，两点之间最短的是一条曲线。
在地图上，北京与纽约之间的最短线是一条直线，遵循欧氏几何但若在地球仪上，再在北京与纽约之间画一条线，会发现那是一条曲线，遵循非欧几何。
欧氏几何在平坦空间之外的不适用，使数学家创立了与其分庭抗衡的非欧几何，并发现我们的宇宙不是只有长、宽、高三维，可能还有第四维时空。在这些空间里，如果想判断宇宙是不是平坦的，可以利用勾股定理,如果不满足，那么宇宙就不平坦。爱因斯坦曾做过类似的实验，并在广义弯曲空间理论里提出这样一个大开脑洞的假设：物理空间是在巨大质量的附近变弯曲的，且质量越大,曲率 ( curvature)越大。
爱因斯坦为验证自己的假设,根据光线总是走最短路线的原理，用经纬仪观测了位于太阳两侧的恒星所发出的光线的夹角，并在太阳离开后再次观测。如果两次观测的结果不同，就证明太阳的质量改变了它周围空间的曲率，使光线偏离原路。爱因斯坦的理论计算值为1.75”。而1919年，英国爱丁顿领导的考察队用三套设备实际观测到两颗恒星的角距离，在有太阳和没有太阳的情况下相差1.61"±0.30″、1.98″±0.12″和1.55″±0.34″
尽管1.5″这个角度并不算大，却足以证明:太阳的质量确实迫使周围的空间发生弯曲，这与广义相对论的假设完全吻合，爱因斯坦因此名声大噪。
结语：无理即未知
公元前五百多年，勾股定理作为人类发现的第一个定理和第一个不定方程,第一次将数学中的“数”与“形”结合在一起，开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学。勾股定理是人类文明史上光彩夺目、永不消逝的明珠。
从勾股定理中推导出来的√2,违反了“万物皆数”的理论，却造就了基础数学中最重要的课程－几何学体系。
非欧几何彻底挑战了欧氏几何体系，实现了天文学的根本变革，揭开了高维空间的宇宙面纱。
在数学的世界里，无理即未知，未知即未来。
感悟：一个确定的理论的应用有一定的范围，不是所有的规律都适用于任何情况，就像勾股定理之于曲面。所以做事情要符合情况符合规律，才能给出行之有效的方案和喜人的结果。
